Οι Συναρτήσεις Χορεύουν Γραφικές παραστάσεις
Ένας χαμογελαστός χορευτής που απλώνει τα χέρια του και σχηματίζει με αυτά τη γραφική παράσταση της συνάρτησης! Πάτησε Χορός και δες τις βασικές συναρτήσεις να εναλλάσσονται η μία μετά την άλλη — κάθε εξίσωση, μια νέα πόζα!
Κάθε βασική συνάρτηση έχει τη δική της χαρακτηριστική «κίνηση»: ευθεία, παραβολή, κύμα ημιτόνου, υπερβολή, απόλυτη τιμή… Μάθε να τις αναγνωρίζεις με το σχήμα τους!
Τριγωνομετρικός Κύκλος Τριγωνομετρία
Σύρε το σημείο πάνω στον κύκλο και δες ζωντανά τους τριγωνομετρικούς αριθμούς και τη γραφική παράσταση ημιτόνου/συνημιτόνου.
Πράσινο = ημθ (κατακόρυφη προβολή) · Κίτρινο = συνθ (οριζόντια προβολή)
Τριγωνομετρικός Κύκλος — Γραμμές & Πρόσημα Τριγωνομετρία
Σύρε το σημείο Μ ή χρησιμοποίησε τον δρομέα. Δες τις γραμμές ημ (y′y), συν (x′x), εφ (στην ευθεία x=1) και σφ (στην ευθεία y=1) ως χρωματιστά τμήματα — μαζί με τις τιμές, τα πρόσημα ανά τεταρτημόριο και τον μνημονικό κανόνα.
Η ημω είναι η κατακόρυφη προβολή (y′y), η συνω η οριζόντια (x′x). Η εφω μετριέται στην ευθεία x=1 και η σφω στην ευθεία y=1.
Grapher Παραβολής f(x)=ax²+βx+γ
Μετακίνησε τους δρομείς και δες πώς κάθε συντελεστής επηρεάζει την παραβολή: κορυφή, ρίζες, άξονας συμμετρίας, διακρίνουσα.
Κίτρινο = κορυφή (σύρε την!) · Πράσινα = ρίζες (τομές με x'x) · Γαλάζιο = τομή με y'y (0, γ)
Παράγωγος & Εφαπτομένη Παράγωγος
Μετακίνησε το σημείο x₀ κατά μήκος της καμπύλης και δες την εφαπτομένη να γλιστράει — η κλίση της ισούται με f΄(x₀).
Η παράγωγος f΄(x₀) είναι το όριο του λόγου μεταβολής καθώς h→0 — ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής, δηλ. η κλίση της εφαπτομένης. Μείωσε το h και δες την τέμνουσα να πλησιάζει την εφαπτομένη.
Κανόνες Παραγώγισης Γινόμενο · Πηλίκο · Σύνθετη
Διάλεξε κανόνα και δύο συναρτήσεις. Δες τον τύπο να εφαρμόζεται βήμα-βήμα με αντικατάσταση, και επαλήθευσε αριθμητικά ότι βγάζει τη σωστή κλίση στο x₀.
■ h(x) · ■ h΄(x) · ■ εφαπτομένη στο x₀ (κλίση = h΄(x₀)) · ┄ f(x) · ┄ g(x)
Τριγωνομετρικές Εξισώσεις Γενικές λύσεις
Διάλεξε τριγωνομετρικό αριθμό (ημ, συν, εφ ή σφ) και δεξί μέλος: είτε τιμή a (με έτοιμες ή δική σου τιμή) είτε γωνία β (μορφή ημχ = ημβ). Δες τη βασική γωνία θ και τη γενική λύση — σε μοίρες και σε ακτίνια (π) — μαζί με τις λύσεις στο [0°, 360°) πάνω στον κύκλο.
k ∈ ℤ · ■/■ = οι λύσεις στο [0°, 360°)
Αναγωγή στο 1ο Τεταρτημόριο Τριγωνομετρία
Δώσε οποιαδήποτε γωνία θ (ακόμη > 360° ή αρνητική) και δες βήμα-βήμα πώς ανάγεται στο πρώτο τεταρτημόριο: συνευθειακή αναγωγή στο [0°, 360°), εύρεση τεταρτημορίου, γωνία αναφοράς x και ο κανόνας προσήμων (ΟΗΕΣ) που δίνει ημθ, συνθ, εφθ, σφθ μέσω των τριγωνομετρικών αριθμών της x.
Γωνία αναφοράς x: η οξεία γωνία που σχηματίζει η τελική πλευρά της θ με τον άξονα x′x. Στο 1ο τεταρτημόριο οι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι θετικοί· σε κάθε άλλο τεταρτημόριο διατηρούν απόλυτη τιμή ίση με της x και αλλάζει μόνο το πρόσημο.
Ρίζες & Ιδιότητες ν-οστή ρίζα
Υπολόγισε ν-οστές ρίζες και δες τις ιδιότητές τους να επαληθεύονται αριθμητικά. Η γραφική παράσταση δείχνει τη y = ⁿ√x (με σύγκριση √x και ∛x).
■ y=ⁿ√x · ■ √x · ■ ∛x
Πραγματικοί Αριθμοί Απόλυτη τιμή · Διαστήματα
Η ανίσωση απόλυτης τιμής |x − a| ⋛ ρ ως απόσταση του x από το a. Σύρε το κέντρο a και την ακτίνα ρ και δες το διάστημα λύσης στην αριθμογραμμή. Σύρε το σημείο x πάνω στην αριθμογραμμή για να ελέγξεις ζωντανά αν η τιμή ικανοποιεί την ανίσωση (πράσινο ✓ / κόκκινο ✗).
Αντίστροφες Τριγωνομετρικές arcsin · arccos · arctan
Γραφικές παραστάσεις των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων, με πεδίο ορισμού, σύνολο τιμών και τιμή σε σημείο (σε ακτίνια και μοίρες).
Αόριστο Ολοκλήρωμα Αντιπαράγωγος
Διάλεξε συνάρτηση και δες την αντιπαράγωγό της: ∫ f(x) dx = F(x) + c. Επαληθεύεται με παραγώγιση (F΄ = f). Κάτω, πίνακας βασικών αντιπαραγώγων.
■ f(x) · ■ F(x) · ■ επιλεγμένη F(x)+c · ■ οικογένεια
Σειρές Μερικά αθροίσματα · Σύγκλιση
Δες τα μερικά αθροίσματα Sₙ μιας σειράς να συγκλίνουν (ή να αποκλίνουν). Για τη γεωμετρική σειρά ρύθμισε τον πρώτο όρο a και τον λόγο r.
Κύκλος (Κωνική Τομή) Εξίσωση · Εφαπτομένη
Ρύθμισε κέντρο K(a, b) και ακτίνα R. Δες την εξίσωση του κύκλου, την ανεπτυγμένη μορφή, και τη θέση μιας ευθείας ως προς τον κύκλο (τέμνουσα / εφαπτομένη / εκτός).
■ κύκλος · ■ ευθεία & κοινά σημεία
Παραβολή (Κωνική Τομή) Εστία · Διευθετούσα
Η παραβολή ως γεωμετρικός τόπος: τα σημεία Ρ που ισαπέχουν από την εστία Ε και τη διευθετούσα δ. Ρύθμισε την παράμετρο p και τον προσανατολισμό, σύρε το σημείο Ρ και επιβεβαίωσε ότι ΡΕ = Ρδ παντού (εκκεντρότητα e = 1).
● εστία Ε · ▌ διευθετούσα δ · ■ παραβολή · ● σημείο Ρ (ΡΕ = Ρδ)
Πίνακας Τιμών & Προσήμων Ανισώσεις
Όρισε τον βαθμό και τις ρίζες. Δες τη γραφική παράσταση, τον πίνακα τιμών και τον πίνακα προσήμων — και τα διαστήματα λύσης της ανίσωσης, χρωματισμένα.
Συνδυαστική Μεταθέσεις · Διατάξεις · Συνδυασμοί
Εργαλειοθήκη για τους βασικούς τύπους (με ζωντανό υπολογισμό και απαρίθμηση για μικρά n) και trainer με λυμένες δύσκολες ασκήσεις, βήμα-βήμα.
Ασύμπτωτες Μελέτη συνάρτησης
Διάλεξε ρητή συνάρτηση και δες τις ασύμπτωτές της: κατακόρυφες (όπου η f απειρίζεται), οριζόντια (όριο στο ±∞) και πλάγια y = λx + β.
▌ κατακόρυφη · ▌ οριζόντια · ▌ πλάγια · ▌ f(x)
Θεωρήματα Ανάλυσης Bolzano · Ενδ. Τιμών · Rolle · Μέσης Τιμής
Διάλεξε θεώρημα και συνάρτηση, και σύρε τα άκρα a, b. Δες γεωμετρικά γιατί υπάρχει ρίζα (Bolzano), τιμή ξ με f(ξ)=k για κάθε ενδιάμεση τιμή k (Θ. Ενδιάμεσων Τιμών), ή σημείο ξ με οριζόντια/παράλληλη εφαπτομένη (Rolle, Μέσης Τιμής).
Σύνολο Τιμών Προβολή τιμών στον y′y
Το σύνολο τιμών f(A) είναι όλες οι τιμές y που παίρνει η f. Διάλεξε συνάρτηση και πεδίο ορισμού και δες τις τιμές να «προβάλλονται» ως διάστημα πάνω στον άξονα y′y.
Η κίτρινη μπάρα στον y′y είναι το σύνολο τιμών. Γεμάτη κουκκίδα = η τιμή λαμβάνεται (κλειστό άκρο) · κενή = δεν λαμβάνεται (ανοιχτό). Βέλος = η f «φεύγει» προς το ±∞.
Μέγιστο–Ελάχιστο σε Κλειστό Διάστημα Θεώρημα Weierstrass
Συνεχής f σε κλειστό [a, b] ⇒ παίρνει ολική μέγιστη και ολική ελάχιστη τιμή (Weierstrass). Τις βρίσκουμε συγκρίνοντας τα κρίσιμα σημεία (f΄=0) με τα άκρα a, b. Σύρε τα άκρα.
Κόκκινο ▲ = ολικό μέγιστο · μπλε ▼ = ολικό ελάχιστο · κίτρινα = κρίσιμα σημεία (f΄=0) · οι κουκκίδες στα a, b είναι τα άκρα. Το μέγ./ελάχ. είναι πάντα είτε κρίσιμο σημείο είτε άκρο.
Σημεία Συσσώρευσης Ακολουθίες · Όρια
Διάλεξε ακολουθία και δες τους όρους της πάνω στην αριθμογραμμή. Σημείο συσσώρευσης είναι εκεί που «μαζεύονται» άπειροι όροι — σε κάθε περιοχή του (ζώνη ε) υπάρχουν άπειροι όροι της ακολουθίας.
■ όροι aₙ · ■ σημείο συσσώρευσης. Σε κάθε ζώνη ε (όσο μικρή κι αν είναι) πέφτουν άπειροι όροι — αύξησε το N και δες το πλήθος να μεγαλώνει.
Εμβαδόν & Ολοκλήρωμα Riemann sums
Αύξησε το πλήθος των ορθογωνίων n και δες το άθροισμα Riemann να συγκλίνει στο ορισμένο ολοκλήρωμα (το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη).
Παιχνίδι Διανυσμάτων Διανύσματα
Σύρε τα άκρα των δύο διανυσμάτων. Δες το άθροισμα (κανόνας παραλληλογράμμου), τα μέτρα, το εσωτερικό γινόμενο και τη γωνία τους.
Κίτρινο = α · Μωβ = β · Πράσινο = α+β
Εξερεύνηση Δεδομένων Στατιστική
Γράψε αριθμούς (χωρισμένους με κόμμα ή κενό) και δες ζωντανά τα μέτρα θέσης/διασποράς, το ιστόγραμμα και το θηκόγραμμα.
Ιστόγραμμα συχνοτήτων · x̄ μέση τιμή · δ διάμεσος (η σχέση τους δείχνει τη λοξότητα)
Θηκόγραμμα με ακραίες τιμές (φράγματα Q₁−1.5·IQR και Q₃+1.5·IQR)
Πίνακας συχνοτήτων (xᵢ: τιμή · νᵢ: συχνότητα · fᵢ: σχετική · Νᵢ/Fᵢ: αθροιστικές)
Προσομοιωτής Πιθανοτήτων Πιθανότητες
Εκτέλεσε το πείραμα πολλές φορές και δες την εμπειρική πιθανότητα (συχνότητα) να πλησιάζει τη θεωρητική — ο νόμος των μεγάλων αριθμών.
■ εμπειρική · ■ θεωρητική · οι γραμμές με ✓ ανήκουν στο ενδεχόμενο Α
Εξερεύνηση Έλλειψης Κωνικές τομές
Άλλαξε τους ημιάξονες a και b και δες πώς μεταβάλλονται οι εστίες, η εκκεντρότητα και το σχήμα. Όταν a = b προκύπτει κύκλος.
Κόκκινα = εστίες · Χρυσό σημείο P: το άθροισμα PF₁+PF₂ μένει σταθερό = 2·(μεγάλος ημιάξονας)
Εκθετική ↔ Λογαριθμική Αντίστροφες συναρτήσεις
Άλλαξε τη βάση a και δες ότι η y = aˣ και η y = log_a x είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x — είναι αντίστροφες συναρτήσεις.
Κίτρινο = aˣ · Πράσινο = log_a x · Διακεκομμένο = y = x (άξονας συμμετρίας)
Θεώρημα Θαλή Ομοιότητα
Το θεώρημα του Θαλή σε δύο μορφές: ως πόρισμα στο τρίγωνο (ΔΕ ∥ ΒΓ) και ως δέσμη παράλληλων ευθειών τεμνόμενων από δύο ευθείες. Μετακίνησε τον δρομέα και δες τα ανάλογα τμήματα — με πραγματικά μήκη.
Έννοια Ορίου Όριο συνάρτησης
Η συνάρτηση δεν ορίζεται στο x₀ (τρύπα), αλλά καθώς το x πλησιάζει το x₀ από αριστερά και δεξιά, το f(x) πλησιάζει το όριο L.
Το όριο υπάρχει ⟺ αριστερό όριο = δεξί όριο (= L). Μείωσε το h ή πάτα «h → 0».
Συνέχεια Συνάρτησης 3 συνθήκες · είδη ασυνέχειας
Η f είναι συνεχής στο x₀ όταν ισχύουν και οι τρεις συνθήκες: ① ορίζεται το f(x₀) · ② υπάρχει το limx→x₀ f(x) (αριστερό = δεξί όριο) · ③ lim = f(x₀). Σύρε την κίτρινη τιμή f(x₀) = λ (ή τον δρομέα) και δες πότε «γεμίζει η τρύπα».
—
Εγγεγραμμένες & Επίκεντρες Γωνίες Κύκλος
Σύρε τα σημεία Α, Β (χορδή) και Ρ (κορυφή). Επιβεβαίωσε ότι η εγγεγραμμένη γωνία ΑΡΒ ισούται με το μισό της επίκεντρης ΑΟΒ που βαίνει στο ίδιο τόξο.
Κόκκινο Α · Μωβ Β · Πράσινο Ρ (κορυφή) · Ο = κέντρο
Δοκίμασε να βάλεις τα Α, Β διαμετρικά → η εγγεγραμμένη γίνεται 90° (γωνία σε ημικύκλιο).
Γωνία Χορδής–Εφαπτομένης Κύκλος
Σύρε το σημείο επαφής Τ, το άκρο της χορδής Α και την κορυφή Ρ στο απέναντι τόξο. Η γωνία φ που σχηματίζει η χορδή ΤΑ με την εφαπτομένη ισούται με το μισό του τόξου ΤΑ — και με την εγγεγραμμένη γωνία ∠ΤΡΑ που βαίνει στο ίδιο τόξο.
Χρυσό Τ (επαφή) · Τιρκουάζ Α · Μωβ Ρ (κορυφή) · Ο = κέντρο · διακεκομμένη = ακτίνα ΟΤ ⟂ εφαπτομένη
Απόδειξη: εφαπτομένη ⟂ ΟΤ ⟹ φ = 90° − ∠ΟΤΑ. Το τρίγωνο ΟΤΑ είναι ισοσκελές (ΟΤ = ΟΑ = R) ⟹ ∠ΟΤΑ = (180° − ∠ΤΟΑ)/2. Άρα φ = 90° − (90° − ∠ΤΟΑ/2) = ∠ΤΟΑ/2 = ½·τόξο. (Μετακίνησε το Ρ στο απέναντι τόξο — η ∠ΤΡΑ μένει ίση με φ.)
Σχετικές Θέσεις Δύο Κύκλων Κύκλος
Σύρε τα κέντρα Κ₁, Κ₂ και τις τετράγωνες λαβές για να αλλάξεις τις ακτίνες R, ρ. Σύγκρινε την απόσταση των κέντρων δ = Κ₁Κ₂ με το R + ρ και το |R − ρ| — και δες πόσα κοινά σημεία έχουν οι δύο κύκλοι.
Μπλε κύκλος (κέντρο Κ₁, ακτίνα R) · Πορτοκαλί κύκλος (κέντρο Κ₂, ακτίνα ρ) · πράσινα = κοινά σημεία
Οι πέντε θέσεις: εξωτερικοί δ > R+ρ · εξωτ. επαφή δ = R+ρ · τέμνονται |R−ρ| < δ < R+ρ · εσωτ. επαφή δ = |R−ρ| · ο ένας μέσα στον άλλο δ < |R−ρ| (με δ = 0 ⟹ ομόκεντροι).
Ακολουθίες & Πρόοδοι Ακολουθίες
Επίλεξε αριθμητική ή γεωμετρική πρόοδο, όρισε τον πρώτο όρο και τη διαφορά/λόγο, και δες τους όρους, τον γενικό τύπο και το άθροισμα.
Διαγράμματα Venn Σύνολα
Ρύθμισε το πλήθος στοιχείων κάθε περιοχής και επίλεξε πράξη συνόλων για να φωτιστεί. Δες πώς προκύπτουν |Α∪Β|, |Α∩Β| και η αρχή εγκλεισμού–αποκλεισμού.
Κανονικά Πολύγωνα & Μέτρηση Κύκλου Μέτρηση κύκλου
Αύξησε τις πλευρές n και δες το κανονικό πολύγωνο εγγεγραμμένο στον κύκλο. Όσο μεγαλώνει το n, το πολύγωνο πλησιάζει τον κύκλο (εμβαδόν → πr²).
Μετασχηματισμοί Συναρτήσεων Συναρτήσεις · Απόλυτη τιμή
Διάλεξε μια βασική συνάρτηση και μετακίνησε τους δρομείς για να δεις πώς το a·f(x − h) + k μετασχηματίζει τη γραφική παράσταση: κατακόρυφη/οριζόντια μετατόπιση, επιμήκυνση και ανάκλαση.
Διακεκομμένο = αρχική f(x) · Τιρκουάζ = μετασχηματισμένη a·f(±(x − h)) + k
Άρτια & Περιττή Συνάρτηση f(x) · −f(x) · f(−x) · −f(−x)
Διάλεξε συνάρτηση και σύγκρινε την f(x) με τις τρεις ανακλάσεις της. Άρτια: f(−x) = f(x) (συμμετρία ως προς τον άξονα y′y). Περιττή: f(−x) = −f(x) (συμμετρία ως προς την αρχή O). Σύρε το σημείο x₀ και δες τις τιμές να επιβεβαιώνουν το είδος.
Στο γράφημα: ● (x₀, f(x₀)) και ● (−x₀, f(−x₀)) πάνω στην f. Ίδιο ύψος ⇒ άρτια · αντίθετο ⇒ περιττή.
Σύνθεση Συναρτήσεων f∘g · πεδίο ορισμού · σύνολο τιμών
Διάλεξε δύο συναρτήσεις f και g. Η (f∘g)(x) = f(g(x)) εφαρμόζει πρώτα τη g και μετά την f. Δες τον τύπο, τα πεδία ορισμού & σύνολα τιμών των f, g, το πεδίο ορισμού της σύνθεσης (με τη συνθήκη) και τις γραφικές παραστάσεις.
Διακεκομμένες = f, g · Έντονη τιρκουάζ = σύνθεση. Υπολογισμός στο x₀: βάζουμε το x₀ πρώτα στην εσωτερική συνάρτηση, και το αποτέλεσμα στην εξωτερική — π.χ. x₀→g(x₀)→f(g(x₀)). Το σύνολο τιμών της σύνθεσης διαβάζεται από την έντονη καμπύλη.
Σύνθεση — Αναλυτικά Βήματα f∘g · πεδίο ορισμού · ταυτοτική
Διάλεξε εξωτερική f και εσωτερική g (όχι μόνο απλές συναρτήσεις). Η εφαρμογή δίνει τη λύση βήμα-βήμα: δεδομένα με πεδία ορισμού & σύνολα τιμών, τον τύπο της σύνθεσης (με απλοποίηση), το πεδίο ορισμού της σύνθεσης με τη συνθήκη, και έλεγχο ταυτοτικής / αντίστροφων. Για εξάσκηση, κρύψε τη λύση και προσπάθησε πρώτα.
Διακεκομμένες = f, g · Έντονη τιρκουάζ = σύνθεση. Το σύνολο τιμών της σύνθεσης διαβάζεται από την έντονη καμπύλη.
Αντίστροφη Συνάρτηση 1-1 · επί · f⁻¹ · γραφικές
Διάλεξε συνάρτηση. Η εφαρμογή ελέγχει αν είναι 1-1 (ένα προς ένα) και επί, βρίσκει την αντίστροφη f⁻¹ βήμα-βήμα, και σχεδιάζει τις γραφικές παραστάσεις της f και της f⁻¹, που είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x.
Τιρκουάζ = f · Χρυσό = f⁻¹ · Διακεκομμένη = ευθεία y = x (άξονας συμμετρίας). Η f⁻¹ είναι η ανάκλαση της f ως προς την y = x.
Στερεά εκ Περιστροφής Στερεομετρία
Διάλεξε στερεό και μετακίνησε τους δρομείς για την ακτίνα R και το ύψος υ. Δες ζωντανά τον όγκο, την επιφάνεια και (για τον κώνο) τη γενέτειρα λ.
Τιρκουάζ = ορατή ακμή · Διακεκομμένο = κρυφή ακμή (πίσω)
Λύση Τριγώνου Νόμοι ημιτόνων/συνημιτόνων
Διάλεξε τι δίνεται (ΠΓΠ, ΠΠΠ, ΓΠΓ ή την αμφίβολη ΠΠΓ) και μετακίνησε τους δρομείς. Η εφαρμογή λύνει το τρίγωνο με νόμο συνημιτόνων/ημιτόνων — και δείχνει πόσες λύσεις υπάρχουν στην αμφίβολη περίπτωση.
Γαλάζιο = δεδομένα · γκρι = υπολογισμένα από τον νόμο. Νόμος συνημιτόνων: a² = b² + c² − 2bc·συνΑ. Νόμος ημιτόνων: a//(ημΑ) = b//(ημΒ) = c//(ημΓ). Εμβαδόν: Ε = 1//2·b·c·ημΑ
Γραμμικά Συστήματα Ορίζουσες · Τομή ευθειών
Δύο ευθείες y = λ₁x + β₁ και y = λ₂x + β₂. Μετακίνησε τους δρομείς και δες το σημείο τομής (λύση του συστήματος), ή πότε οι ευθείες είναι παράλληλες/ταυτίζονται.
Τυπική μορφή: λx − y = −β. Η ορίζουσα του συστήματος είναι \(D=\begin{vmatrix}\lambda_1 & -1\\ \lambda_2 & -1\end{vmatrix}=\lambda_2-\lambda_1\) και, με τον κανόνα του Cramer, \(x=\dfrac{D_x}{D}\), \(y=\dfrac{D_y}{D}\) (όταν \(D\neq 0\)).
Γραφική Επίλυση Εξίσωσης f(x) = g(x) · σημεία τομής
Σχεδίασε δύο καμπύλες f και g (παραβολή ή ευθεία) και λύσε γραφικά την εξίσωση f(x) = g(x): οι τετμημένες των σημείων τομής είναι οι λύσεις. Κάθε συνάρτηση έχει μορφή ax² + βx + γ — βάλε a = 0 για ευθεία. Σύρε μια καμπύλη για να τη μετακινήσεις κατακόρυφα.
Μωβ = f · τιρκουάζ = g · κίτρινα σημεία = τομές (οι λύσεις) · οι διακεκομμένες δείχνουν τις τετμημένες στον x′x.
Μελέτη Συνάρτησης Μονοτονία · Ακρότατα · Καμπή
Πολυωνυμική f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Μετακίνησε τους δρομείς και δες τα τοπικά ακρότατα (f΄ = 0), το σημείο καμπής (f΄΄ = 0) και τα διαστήματα μονοτονίας/κυρτότητας.
Καμπύλη: πράσινη όπου η f είναι αύξουσα, κόκκινη όπου φθίνουσα · Κίτρινο = τοπικά ακρότατα (f΄ = 0, οριζόντια εφαπτομένη) · Μωβ = σημείο καμπής (f΄΄ = 0)
Θηκόγραμμα & Τεταρτημόρια Στατιστική
Γράψε τα δεδομένα σου (χωρισμένα με κόμμα) και δες το θηκόγραμμα με ελάχιστο, Q₁, διάμεσο, Q₃, μέγιστο και το ενδοτεταρτημοριακό εύρος.
Το κουτί εκτείνεται από Q₁ έως Q₃ (το μεσαίο 50% των δεδομένων) · η γραμμή μέσα είναι η διάμεσος. Τα μουστάκια φτάνουν ως την πλησιέστερη τιμή εντός των φραγμάτων Q₁−1.5·IQR και Q₃+1.5·IQR· ό,τι είναι εκτός είναι ακραία τιμή.
Εμβαδόν μεταξύ δύο Καμπυλών Ολοκλήρωμα
Διάλεξε δύο καμπύλες και το διάστημα. Το χρωματισμένο χωρίο είναι το εμβαδόν που περικλείεται. Άλλαξε άξονα ολοκλήρωσης (ως προς x ή ως προς y) και δες πώς αλλάζουν οι «φέτες».
Τιρκουάζ = το περικλειόμενο χωρίο · οι λεπτές γραμμές δείχνουν τη φορά ολοκλήρωσης
Όγκος εκ Περιστροφής Ολοκλήρωμα
Το χωρίο ανάμεσα στην εξωτερική καμπύλη R και την εσωτερική r περιστρέφεται γύρω από τον άξονα. Δες τον όγκο με μέθοδο δίσκων (όταν r = 0) ή δακτυλίων, γύρω από τον άξονα x ή τον άξονα y.
Τιρκουάζ = το στερεό · διακεκομμένη = ο άξονας περιστροφής · οι ελλείψεις = κυκλικές διατομές