Μαθηματικά Λυκείου — Διαδραστικές Εφαρμογές

Τριγωνομετρικός Κύκλος Τριγωνομετρία

Σύρε το σημείο πάνω στον κύκλο και δες ζωντανά τους τριγωνομετρικούς αριθμούς και τη γραφική παράσταση ημιτόνου/συνημιτόνου.

Κλείδωμα σε ειδικές γωνίες (ανά 15°) Δείξε γεωμετρική εφαπτομένη (άξονας εφθ)

Γωνία θ30°

σε ακτίνιαπ/6

Τεταρτημόριο1ο

ημθ0.5

συνθ0.866

εφθ0.577

σφθ (cot)1.732

τεμθ (sec)1.155

στεμθ (csc)2

Πράσινο = ημθ (κατακόρυφη προβολή) · Κίτρινο = συνθ (οριζόντια προβολή)

Grapher Παραβολής f(x)=ax²+βx+γ

Μετακίνησε τους δρομείς και δες πώς κάθε συντελεστής επηρεάζει την παραβολή: κορυφή, ρίζες, άξονας συμμετρίας, διακρίνουσα.

a = 1 β = -2 γ = -3

Εξίσωσηy = x² − 2x − 3

Διακρίνουσα Δ16

Ρίζες-1, 3

Κορυφή(1, -4)

Άξονας συμμ.x = 1

Κοίλαπρος τα άνω

Εστία(1, -3.75)

Διευθετούσαy = -4.25

Κίτρινο = κορυφή · Πράσινα = ρίζες (τομές με x'x) · Τιρκουάζ = εστία & διευθετούσα

Παράγωγος & Εφαπτομένη Παράγωγος

Μετακίνησε το σημείο x₀ κατά μήκος της καμπύλης και δες την εφαπτομένη να γλιστράει — η κλίση της ισούται με f΄(x₀).

Συνάρτηση Σημείο x₀ = 1

f(x₀)1

f΄(x₀) = κλίση2

Εφαπτομένηy = 2x − 1

Μονοτονία εδώαύξουσα

Δείξε τη γραφική της f΄(x)

Εμβαδόν & Ολοκλήρωμα Riemann sums

Αύξησε το πλήθος των ορθογωνίων n και δες το άθροισμα Riemann να συγκλίνει στο ορισμένο ολοκλήρωμα (το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη).

Συνάρτηση Πλήθος ορθογωνίων n = 6 Διάστημα a = 0 Διάστημα b = 3 Τύπος

Άθροισμα Riemann9.00

Ακριβές ολοκλήρωμα9.00

Σφάλμα0.00

Παιχνίδι Διανυσμάτων Διανύσματα

Σύρε τα άκρα των δύο διανυσμάτων. Δες το άθροισμα (κανόνας παραλληλογράμμου), τα μέτρα, το εσωτερικό γινόμενο και τη γωνία τους.

Δείξε το άθροισμα & παραλληλόγραμμο

Διάνυσμα α(3, 2)

Διάνυσμα β(-1, 3)

α + β(2, 5)

|α|3.61

|β|3.16

α · β (εσωτ. γινόμενο)3

Γωνία (α, β)74.7°

Σχέση—

Κίτρινο = α · Μωβ = β · Πράσινο = α+β

Εξερεύνηση Δεδομένων Στατιστική

Γράψε αριθμούς (χωρισμένους με κόμμα ή κενό) και δες ζωντανά τα μέτρα θέσης/διασποράς, το ιστόγραμμα και το θηκόγραμμα.

Δεδομένα

Ιστόγραμμα συχνοτήτων

Θηκόγραμμα (min · Q₁ · διάμεσος · Q₃ · max)

Πλήθος (ν)9

Μέση τιμή-

Διάμεσος-

Επικρατούσα-

Εύρος-

Q₁ / Q₃-

Ενδοτεταρτ. εύρος-

Τυπική απόκλιση-

Συντ. μεταβλητότητας-

Προσομοιωτής Πιθανοτήτων Πιθανότητες

Εκτέλεσε το πείραμα πολλές φορές και δες την εμπειρική πιθανότητα (συχνότητα) να πλησιάζει τη θεωρητική — ο νόμος των μεγάλων αριθμών.

Πείραμα

Συνολικές ρίψεις0

Χρώματα■ εμπειρική · ■ θεωρητική

Καθώς αυξάνονται οι ρίψεις, οι μπάρες πλησιάζουν τη θεωρητική πιθανότητα.

Εξερεύνηση Έλλειψης Κωνικές τομές

Άλλαξε τους ημιάξονες a και b και δες πώς μεταβάλλονται οι εστίες, η εκκεντρότητα και το σχήμα. Όταν a = b προκύπτει κύκλος.

Ημιάξονας a = 5 Ημιάξονας b = 3

Εξίσωσηx²/25 + y²/9 = 1

Εστιακή απόσταση c4

Εστίες(±4, 0)

Εκκεντρότητα e0.80

Σχήμαέλλειψη

PF₁ + PF₂10 (= 2a)

Κόκκινα = εστίες · Χρυσό σημείο P: το άθροισμα PF₁+PF₂ μένει σταθερό = 2·(μεγάλος ημιάξονας)

Εκθετική ↔ Λογαριθμική Αντίστροφες συναρτήσεις

Άλλαξε τη βάση a και δες ότι η y = aˣ και η y = log_a x είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x — είναι αντίστροφες συναρτήσεις.

Βάση a = 2 Σημείο x = 2

aˣ4

log_a(aˣ)2

Εκθετική περνά από(0, 1)

Λογαριθμική περνά από(1, 0)

Κίτρινο = aˣ · Πράσινο = log_a x · Διακεκομμένο = y = x (άξονας συμμετρίας)

Θεώρημα Θαλή Ομοιότητα

Μετακίνησε την παράλληλη ευθεία ΔΕ (ΔΕ ∥ ΒΓ) και επιβεβαίωσε ότι χωρίζει τις πλευρές σε ανάλογα τμήματα: ΑΔ/ΔΒ = ΑΕ/ΕΓ.

Θέση της ΔΕ (t = ΑΔ/ΑΒ) = 0.40

ΑΔ : ΔΒ2 : 3

ΑΕ : ΕΓ2 : 3

ΑΔ/ΔΒ0.67

ΑΕ/ΕΓ0.67

ΔΕ / ΒΓ0.40

Τρίγωνα ΑΔΕ ~ ΑΒΓόμοια

Οι δύο λόγοι ΑΔ/ΔΒ και ΑΕ/ΕΓ παραμένουν πάντα ίσοι — αυτό είναι το θεώρημα του Θαλή.

Έννοια Ορίου Όριο συνάρτησης

Η συνάρτηση δεν ορίζεται στο x₀ (τρύπα), αλλά καθώς το x πλησιάζει το x₀ από αριστερά και δεξιά, το f(x) πλησιάζει το όριο L.

Συνάρτηση Απόσταση h από το x₀ = 0.5

Αριστερά: f(x₀ − h)1.50

Δεξιά: f(x₀ + h)2.50

Όριο L2

Τιμή στο x₀δεν ορίζεται

Μείωσε το h → τα δύο πλευρικά όρια πλησιάζουν το ίδιο L, άρα το όριο υπάρχει.

Εγγεγραμμένες & Επίκεντρες Γωνίες Κύκλος

Σύρε τα σημεία Α, Β (χορδή) και Ρ (κορυφή). Επιβεβαίωσε ότι η εγγεγραμμένη γωνία ΑΡΒ ισούται με το μισό της επίκεντρης ΑΟΒ που βαίνει στο ίδιο τόξο.

Κόκκινο Α · Μωβ Β · Πράσινο Ρ (κορυφή) · Ο = κέντρο

Επίκεντρη ∠ΑΟΒ120°

Εγγεγραμμένη ∠ΑΡΒ60°

Λόγος (επίκεντρη/εγγεγρ.)2.00

Τόξο ΑΒ120°

Κανόναςεγγεγρ. = επίκεντρη / 2 ✓

Δοκίμασε να βάλεις τα Α, Β διαμετρικά → η εγγεγραμμένη γίνεται 90° (γωνία σε ημικύκλιο).

Ακολουθίες & Πρόοδοι Ακολουθίες

Επίλεξε αριθμητική ή γεωμετρική πρόοδο, όρισε τον πρώτο όρο και τη διαφορά/λόγο, και δες τους όρους, τον γενικό τύπο και το άθροισμα.

Τύπος προόδου

Πρώτος όρος α₁ = 1 Διαφορά δ = 2 Πλήθος όρων n = 7

Γενικός όροςaₙ = 1 + (n−1)·2

Όροι1, 3, 5, …

n-οστός όρος13

Άθροισμα Sₙ49

Άπειρο άθροισμα—

Διαγράμματα Venn Σύνολα

Ρύθμισε το πλήθος στοιχείων κάθε περιοχής και επίλεξε πράξη συνόλων για να φωτιστεί. Δες πώς προκύπτουν |Α∪Β|, |Α∩Β| και η αρχή εγκλεισμού–αποκλεισμού.

Μόνο στο Α = 6 Τομή Α∩Β = 3 Μόνο στο Β = 5 Εκτός (στο Ω) = 4

|Α|9

|Β|8

|Α∩Β|3

|Α∪Β| = |Α|+|Β|−|Α∩Β|14

Σύνολο Ω18

Κανονικά Πολύγωνα & Μέτρηση Κύκλου Μέτρηση κύκλου

Αύξησε τις πλευρές n και δες το κανονικό πολύγωνο εγγεγραμμένο στον κύκλο. Όσο μεγαλώνει το n, το πολύγωνο πλησιάζει τον κύκλο (εμβαδόν → πr²).

Πλήθος πλευρών n = 6 Ακτίνα r = 5

Κεντρική γωνία (360°/n)60°

Εσωτερική γωνία120°

Άθροισμα εσωτ. γωνιών720°

Περίμετρος πολυγώνου30.0

Εμβαδόν πολυγώνου64.95

Μήκος κύκλου (2πr)31.42

Εμβαδόν δίσκου (πr²)78.54

Κάλυψη (πολύγ./δίσκος)82.7%

Μετασχηματισμοί Συναρτήσεων Συναρτήσεις · Απόλυτη τιμή

Διάλεξε μια βασική συνάρτηση και μετακίνησε τους δρομείς για να δεις πώς το a·f(x − h) + k μετασχηματίζει τη γραφική παράσταση: κατακόρυφη/οριζόντια μετατόπιση, επιμήκυνση και ανάκλαση.

Βασική συνάρτηση f(x)

a (επιμήκυνση / ανάκλαση) = 1 h (οριζόντια μετατόπιση) = 0 k (κατακόρυφη μετατόπιση) = 0

Τύποςy = |x|

Μετατόπισηκαμία

Ανάκλασηόχι

Διακεκομμένο = αρχική f(x) · Τιρκουάζ = μετασχηματισμένη a·f(x − h) + k

Στερεά εκ Περιστροφής Στερεομετρία

Διάλεξε στερεό και μετακίνησε τους δρομείς για την ακτίνα R και το ύψος υ. Δες ζωντανά τον όγκο, την επιφάνεια και (για τον κώνο) τη γενέτειρα λ.

Στερεό

R (ακτίνα) = 3 υ (ύψος) = 5

Όγκος V45π

Επιφάνεια48π

Γενέτειρα λ—

Τύπος όγκουπR²υ

Τιρκουάζ = ορατή ακμή · Διακεκομμένο = κρυφή ακμή (πίσω)

Λύση Τριγώνου Νόμοι ημιτόνων/συνημιτόνων

Διάλεξε τι δίνεται (ΠΓΠ, ΠΠΠ, ΓΠΓ ή την αμφίβολη ΠΠΓ) και μετακίνησε τους δρομείς. Η εφαρμογή λύνει το τρίγωνο με νόμο συνημιτόνων/ημιτόνων — και δείχνει πόσες λύσεις υπάρχουν στην αμφίβολη περίπτωση.

Δεδομένα

πλευρά a = 7

πλευρά b = 6

πλευρά c = 5

γωνία Α = 60°

γωνία Β = 45°

πλευρές (a, b, c)—

γωνίες (Α, Β, Γ)—

Εμβαδόν—

Λύσεις—

a² = b² + c² − 2bc·συνΑ · a/ημΑ = b/ημΒ = c/ημΓ · Ε = ½·b·c·ημΑ

Γραμμικά Συστήματα Ορίζουσες · Τομή ευθειών

Δύο ευθείες y = λ₁x + β₁ και y = λ₂x + β₂. Μετακίνησε τους δρομείς και δες το σημείο τομής (λύση του συστήματος), ή πότε οι ευθείες είναι παράλληλες/ταυτίζονται.

λ₁ = 1 β₁ = 2 λ₂ = -1 β₂ = -1

Λύση—

Ορίζουσα D—

Είδος—

D = λ₂ − λ₁ · D ≠ 0 → μοναδική λύση · D = 0 → παράλληλες ή ταυτιζόμενες

Μελέτη Συνάρτησης Μονοτονία · Ακρότατα · Καμπή

Πολυωνυμική f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Μετακίνησε τους δρομείς και δες τα τοπικά ακρότατα (f΄ = 0), το σημείο καμπής (f΄΄ = 0) και τα διαστήματα μονοτονίας/κυρτότητας.

a = 1 b = 0 c = -3 d = 0

f΄(x)—

Τοπικά ακρότατα—

Σημείο καμπής—

Κίτρινο = τοπικά ακρότατα (f΄ = 0) · Ροζ = σημείο καμπής (f΄΄ = 0)

Θηκόγραμμα & Τεταρτημόρια Στατιστική

Γράψε τα δεδομένα σου (χωρισμένα με κόμμα) και δες το θηκόγραμμα με ελάχιστο, Q₁, διάμεσο, Q₃, μέγιστο και το ενδοτεταρτημοριακό εύρος.

Δεδομένα (χωρισμένα με κόμμα)

Ελάχιστο—

Q₁—

Διάμεσος (Q₂)—

Q₃—

Μέγιστο—

IQR = Q₃ − Q₁—

Το κουτί εκτείνεται από Q₁ έως Q₃ · η γραμμή μέσα είναι η διάμεσος